质周期分析简介

 

   地球大气层，或者天气系统的运动变化，产生各种天气现象和性质的演变。我们定时记录下来，就是时间序列， 例如逐日气温序列，逐日雨量序列等。除了气象上的各种时间序列外，无数其他事物，尤其是人类尚未完全掌握其规律的特大系统，都产生各种等待我们去分析研究的时间序列。显然，这种时间序列如果有某种规律性，它必然是周期性。因为客观存在是有规律地运动的。即使是人类难以去影响、不能控制的特大系统也不列外。虽然不能控制，或者在控制之前，人类应该去研究它，认识它，首先做到能够预测它。我们要研究的、可以认识的，就是时间序列的周期性，做预报只能靠这种周期性。

已出现的周期分析方法有千百种，我认为最科学可靠的是谐波分析。谐波分析依据数学定理──福里哀变换，即：任何周期函数都可展开成为一系列正弦函数之和。如果是离散的时间序列，则可展开成为三角函数级数。但是谐波分析用在天气预报上不一定成功，更不比其它方法有效 。这里显然有两条不正确、不合理的经验：用作分析的时间序列不能太长，所选取的周期数目不能太多。时间序列愈长，数据资料愈多，应该能提供更多的信息，愈能揭示该事物的性质，为什么反而要短些？按数学定理，时间序列应展成无穷的三角级数，为什么只能取少数几个周期？

因为，气象系统非常复杂，任一种时间序列都将包含数不清的周期，短的可能仅几个小时，长的可以到几年，几万年，所以根本不知道它的总周期有多长。而福里哀变换只适用总周期长度已知的函数，它可以把该函数展开为无穷个倍频的正弦函数之和，对总周期未知的序列则无能为力。

我于1977年提出的“质周期分析”，不仅计算非常简单，还可克服以上两个缺点，而实质上又是根据或等价于谐波分析。可以验证，进行我所谓的分相统计得到的周期因子，实际上是以该周期为基频的所有正弦函数之和。另外，如果我们要得到该整数周期的正弦函数，只要对这个周期因子进行多次滑动平均就可以了。其结果与通常的谐波分析是一样的，我常常就用这种方法做一般的谐波分析。只有周期非整数时（如在我称之为“精密谐波分析”中所要求的），才需要复杂的解方程运算。

现在举列说明什么叫“分相统计”和“质周期因子”。如果有一个只有18个数据的时间序列：F={3，15，21，6，6，27，18，-33，15，0，-6，-9，6，18，9，3，0，9}，

所谓按周期T=6的“分相统计”是：

 

           3   15  21   6    6   27

　　　　　18  -33  15   0   -6   -9

    相加   6   18   9   3    0    9

       ──────────────────

    求和  27   0   45   9    0   27

平均   9   0   15   3    0    9           此为统计因子S6（F）

 

     这个长度为6的统计因子S6（F）={9，0，15，3，0，9}，它含有周期T=2，周期T=3的因子及平均值（即周期T=1的因子），现在把它们都从统计因子S6（F）中减去，就成为质周期因子S6ο（F）了。

注意；在进行这一步“本质化”运算时一定不要有重复。例如在本列中，如果对S6（F）分别进行T=2和T=3的分相统计得到S2[S6（F）]和S3[S6（F）]，再在S6（F）中减去这两者，那么就减了两次平均值S1[S6（F）]，因为S2和S3中都含有平均值S1。正确的本质化运算可以有不同的途径。本例可取以下的标准过程（有时标准的并不是最优的）：

 

第一步，先求平均值S1=（9+0+15+3+0+9）/6=6，原统计因子减去这一平均值成为：{3，-6，9，-3，-6，3}。

 

     第二步，对第一步结果作T=2的分相统计：

                  3   -6

                  9   -3

          相加   -6    3

          ────────────

          求和    6   -6

          平均    2   -2             这是S2

 

得S2={2，-2}，从第一步结果中减去，可得到：

 

       第一步结果：   3   -6    9   -3   -6    3

             S2  ：   2   -2    2   -2    2   -2

         ──────────────────────

         相减得差：   1   -4    7   -1   -8    5          此为第二步结果

 

    第三步：对第二步结果作T=3的分相统计：

 

                  1    -4    7

                 -1    -8    5

           ──────────────

         求和：   0   -12   12

         平均：   0    -6    6           这是S3

 

得S3={0，-6，6}，从第二步中减去它，最后即可得到质因子S6ο：

 

        第二步结果：   1   -4   7  -1   -8    5

               S3 ：   0   -6   6   0   -6    6

         ──────────────────────

         相减：        1    2   1  -1   -2   -1       这就是质因子S6ο

 

“统计因子”经过“本质化”就成为“质因子”。当统计因子的周期T是质数时，本质化运算只要减去平均值S1。例如上面的S2 和 S3  ，因为已除去平均值S1（它们各相值之和为0），实际上就是质因子 S2ο和S3ο。周期T是非质数时，则还必须除去它所含的所有周期等于真因子的质周期函数。任何周期时间序列，可用上述算法求得它的所有质周期因子。

反过来，任何统计因子，或总周期T已知的时间序列，必等于它的所有质周期因子之和：这里说的质周期因子的周期Ti，是整数T的因子，包括T本身及Ti=1。如果上例是T=18的周期函数，它的所有质周期因子是：S18ο、S9ο、S6ο、S3ο、S2ο、S1ο。我们已经求得后4个因子，也不难求得前两个，整个周期序列将是这6个因子之和。而周期因子S6 则等于S6ο、S3ο、S2ο、S1ο这4个因子之和:

 

↓←-------------------------------资料时段------------------------→  预报时段

时 刻  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21

S6ο : 1   2   1  -1  -2  -1   1   2   1  -1  -2  -1   1   2   1  -1  -2  -1

因S3ο: 0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6

S2ο : 2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2

子S1ο: 6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6

S6  : 9   0  15   3   0   9   9   0  15   3   0   9   9   0  15   3   0   9

 

上表列出了21个时刻,从1到18是有资料时段，19时刻以后是要预报的时段。以下是5个周期因子，前4个是质周期因子，平均值S1 是特殊因子，只有一个值、本身就是质因子S1ο。因为是周期函数，每一个都可首尾相接，前后延伸，我们把每个周期的第一个元素加了下划线作标记。注意第一时刻的各周期元素都是第一元素，在那一列顶部加了符号↓，被称为“历元”时刻。历元虽然可以选在任何时刻，但选定之后就不能更改，我们做任何一次统计运算时，都要使这一时刻相互对准，即保证历元时刻，必须对准任意周期的第一元素。为了方便，通常把资料时段或预报时段的第一时刻选为历元。

由上表你可以验证前4个质周期因子之和就是普通因子S6 。如果你求得S18ο、S9ο再加上去，必等于我们开始时给出的18个元素的序列F。你可以用任何周期函数来验证这个结论，于是就可以用质因子之和来预报。同时不难发现，已知周期的序列只等于它的所有质周期因子之和，而不等于任何其它普通统计因子之和。

那么，对于像气象数据这样不知道总周期长度的时间序列呢？这里我提出下面的规律可供大家验证。如果资料序列的长度为L，则只要把周期Ti=2到Ti=2L的平方根的所有质周期因子都求出来，然后把它们都加起来，就是实际序列的良好模拟。如果该实际序列中起作用的周期都在2到根号2L之间，则就可用这些周期因子之和作预报。如果起作用的周期有在这个范围之外的，那么就要找出所有这些周期的质因子。要取多少质周期因子？大概是达到使这些质因子的周期长度之和等L为止。

现在我们把上面的18个元素的序列F，看作是不知道总周期长度的时间序列，L=18。因为2*18＝36的平方根为6，应该用T=1，2，3，4，5，6的质因子来预报。我们已把T=1，2，3，6这4个质因子求出，因为它们的周期长度正好是18的因子，分相统计刚好用了全部数据，选资料时段的第一时刻为历元，与选预报时段的第一时刻为历元，是一样的，历元都包含在诸周期因子的第一元素中。统计T=4和5的周期因子时，分别只用4和3个整周期长度的资料，将分别多出2和3个实际数据不参与统计。为了预报未来，应该抛弃最早的资料，这样最好选预报时段的第一时刻为历元，分相统计时要从后向前排列数据：

求T=5的因子：

 

18   9   3   0   9           9是最后一个资料数据

15   0  -6  -9   6

6    6  27  18 –33           6以前的3个数被抛弃了

           ──────────────

         求和：   39  15  24   9 -18

         平均：   13   5   8   3  -6           这是S5

减平均4.6：   8   0   3  -1  -10           这是S5ο

 

因为我们抛弃了开头3个较大的数据3，15，21，这里的平均值不是6而降为4.6，另外，纯粹为了行文简洁，我们把相减结果中的小数点后数字去掉了（这会降低精确性）。

求t=4的周期因子：

        

 9       3       0       9        9是最后一个资料数据

                  -6      -9       6      18

                  18     –33      15       0

21       6       6      27        21以前的2个数被抛弃了

 ──────────────

         求和：   42     –33      27      54

         平均： 10.5   -8.25    6.75    13.5         这是S4

S2：   8.6    2.6     8.6     2.6

减S2：   2     -11      -2       11         这是S4ο

 

这里的S2是由S4进行分相统计得到的，包含S2ο和S1ο，减去它，就等于减去了两者，即成为质因子。结果也略去了小数，这纯粹为了使下面的表格简单些，当然也降低了精确性。下表的“理论”一行是由6个质因子求和得到的，在资料时段是理论模拟值，在预报时段的19，-11，16，就是预报时段首3个时刻的预报值了。

 

因子名←-------------------------------资料时段---------------------------→  ↓预报时段

S6ο : 1   2   1  -1  -2  -1   1   2   1  -1  -2  -1   1   2   1  -1  -2  -1   1   2   1

S5ο : 3  -1 -10   8   0   3  -1 -10   8   0   3  -1 -10   8   0   3  -1 -10   8   0   3

S4ο :-2  11   2 –11  -2  11   2 –11  -2  11   2 –11  -2  11   2 –11  -2  11   2 –11  -2 

S3ο : 0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6   0  -6   6

S2ο : 2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2  -2   2

S1  : 6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6   6

理论:10 10   7   0  -2  23  10 –21  21  14   5  -3  -3  19  17  -5  -3  10  19 –11  16

实际:3  15  21   6   6  27  18 –33  15   0  -6  -9   6  18   9   3   0   9

 

 

                                      2002-8-11写，2003－12－3日修改补充