质周期析

陕西省气象局 张时钊

1977．10 初稿 1980．8 ，1982．3 修改

小引

质周期分析是为了做超长期遂日天气预报而提出来的，也适用于一切人们还不能控制的事物，如地震等．对这些事物，我们只能作被动的观测，再从记录序列中分析其发展变化的规律性．这规律性主要是，归根结底只能是周期性．

已有的周期分析方法种类繁多，其中较科学的唯有谐波分析．它可把周期已知的时间函数分解为单纯的正弦函数，但用于大量总周期未知的实际时间序列，效果却不很理想．因为这里有三个不能克服的矛盾：总周期未知，要分析尽可附合实际，所取记录资料应愈长愈好，但资料一长，短波成份就被平滑掉了，故文献上反而要求供分析的资料要短；同样，用周期分析方法做天气预报的文献几乎都认为，所采用的周期数不能太多，以 3-5 个为宜，实际上天气现象十分复杂，周期何至几十几百，且周期也不可能恰好是整数；谐波分析的数学原理是傅里哀变换，无明显不变的总周期时，无穷序列只当收敛时才能进行傅里哀变换，天气时间序列实际上是无穷长的，显然不收敛．

质周期分析虽然也从分解已知周期的离散函数开始(见第一节)，而且其实质不过是对谐波分析算法的简化(见第七节)，但从它的特殊滤波作用的研究中(见第八节)，可看出已能克服上述的种种缺陷．

第一节 定义

特定的一个离散时间序列 ｛ｔ_i�椋�，ｉ＝ ┅ －２，－１，０，１，２┅ 由零点时刻ｔ₀ ，时间单位τ＝ｔ_i+1－ｔ_i（对一切ｉ）唯一地确定，可记为

（ｔ₀�埃�τ）　

我们假定它是业已取定的．

定义：离散时刻 ｛ｔ_i｝上的数值函数 ｆ（ｔ_i），若存在某整数

Ｔ ，并对任何整数 ｋ， 恒有：

ｆ（ｔ_i）＝ｆ（ｔ_i＋ｋＴ） ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (1)

则称为离散型周期函数， Ｔ 称为它的周期．

后面讨论的周期函数，甚至简称为函数，如不作声明，一律是指离散型周期函数．

定义： 周期函数的最大值 ｍ_iａｘ ｆ（ｔ_i） 称为波峰，

��

最小值 ｍ_iｉｎ ｆ（ｔ_i） 称为波谷，

��

其差ｍ_iａｘ ｆ（ｔ_i）－ｍ_iａｘ ｆ（ｔ_i） 称为振幅．

�� ��

此外，只要函数值大于（小于）相邻两时刻的值，也可称为波峰(波谷)．

定义：对于周期 Ｔ＝ｎ的函数，从任一时刻ｔ_i开始到ｔ_i＋ｎτ，称为一个周期．确切地说，一个周期是半开区间［ｔ_i, ｔ_i＋ｎτ）．一个周期内的ｎ个时刻称为ｎ个不同的相．若定某时刻ｔ�拔�初相，则其后 ｎ－１ 个相分别为ｔ_k＝ｔ₀＋ｎτ，ｋ＝１，２，┅┅ｎ－１．于是，任一周期函数，按式⑴的性质，可用任一周期的ｎ个相继相的值ｘ�椋ㄒ嗉矗罡鲈�素）和一个初相时刻ｔ₀来表达（离散形式）：

Ｆｎ：｛ｘ₀，ｘ₁，┅┅┅ ｘ_n-1｝； ｔ₀��

其中：ｘ_k＝ｆ（ｔ_0+kτ） ｋ＝０，１，┅ ｎ－１．

┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ⑵

以下讨论的函数将都是以此形式给出的，并用一个大写字母Ｆ表示，加注下标指明它的周期．当用Ｆｎ来代表函数时，我们认为它的 ｎ 个函数值｛ｘ_i｝及一个初相时刻是巳经给定了的，这时，只要把子列｛ｘ₀，ｘ₁，┅┅┅ ｘ_n-1｝重覆排列 ，首尾相接 ， 就成为一个无穷的时间序列 ， 该序列在所有时刻ｔ_i＋ｋｎτ（ｋ为一切整数）时的值均为ｘ_i．

对两函数Ｆｎ₁，Ｆｎ₂可以进行四则运算，其结果是这样的无穷时间序列：它的某时刻的元素，等于对两函数在该时刻的值作相应运算之结果．显然，我们不需要作无穷次这种运算，因为新序列仍是周期函数，其周期等于最小公倍数ｎ＝［ｎ₁，ｎ₂］，所以

只要得到相继ｎ个元素就够了．一般地，我们有：

定理①：ｉ个周期函数经过四则运算得到的函数仍是周期函数，其周期等

于这ｉ个周期函数的周期 Ｔ_i＝ｎ_i 的最小公倍数ｎ＝［ｎ₁，

ｎ₂ ┅┅ｎ_i］．

另外，对周期函数的开方、乘方、取对数等运算，等于对它的各时刻的值进行相应的运算．常数ａ可看作是周期Ｔ＝１的函数，周期函数加、减、乘或除以ａ，等于该函数各时刻值的加、减、乘或除以ａ．

所有以上运算，称为初等运算，可以把各个Ｆｎ都当作一个普通的实数那样 进行，我们也以普通的符号表示作：Ｆｎ±Ｆｍ，Ｆｎ±ａ，Ｆｎ·Ｆｍ，以及Ｆｎ／Ｆｍ，√^__Ｆｎ，（Ｆｎ）^a，lnＦｎ．

第二节 分相统计

定义：Ｔ＝ｍ的周期函数Ｆｍ＝｛ｚ₀，ｚ₁�保�┅┅ ｚ_m-1｝，如果

它的元素ｚ_i是由于下式规定的对函数Ｆｎ＝｛ｘ₀，ｘ₁，┅┅

ｘ_n-1｝的分相统计之结果

［ｎ，ｍ］

──── －１

ｍ ｍ

ｚ_i ＝ ───── Σ ｘ�� ┅┅┅┅ ⑶

^{［ｎ，ｍ］ ｈ＝０}

则写作Ｆｍ＝Ｓｍ（Ｆｎ），Ｓｍ称为按周期ｍ作的分相统计算

子，简称为统计算子．当ｍ为ｎ的因子时，特称Ｓｍ（Ｆｎ）为

Ｆｎ统计因子．按此定义，对Ｆｎ作按周期ｍ的分相统计的算法

是：从Ｆｎ的任一个初相时刻ｔ₀开始，顺次写出相继的 Ｌ＝

［ｎ，ｍ］个元素，即ｘ₀，ｘ₁，┅┅┅ ｘ_L-1， 然后每

［ｎ，ｍ］

ｍ 个一组，依次分为─────组，各组重叠排列如下，然后求

ｎ

各列的平均值：

ｘ₀，ｘ₁ ，┅┅┅ ｘ_m-1

ｘ_m，ｘ_m+1，┅┅┅ ｘ_2m-1

平均值： z₀， z₁， ┅┅┅ z_m

在对实际时间序列进行各种分相统计时 ， 必须先选定适当的零时刻ｔ₀（相当于天文学上的历元），并对该序列元素按整数数列编号．如果ｔ₀时刻的元素ｘ₀不是序列的第一个元素，可把它做上显眼的记号，作分相统计时，仍只要从第一个元素起顺序排列，不一定使ｘ₀排在第一列上．待平均值算好后，再检查打了记号的ｘ�霸谀且涣校�那一个平均值就是统计因子的初相元素ｚ₀，其它元素则依次排在其后．有时为了方便，也可把编号１作为初相，这时周期函数记为：

Ｆｎ＝｛ｘ�保�ｘ�玻�┅┅ ｘ�睿�．

定义：任何函数都具有周期Ｔ＝１的统计因子：

１ ｎ－１

Ｓ₁（Ｆｎ）＝─── Σ ｘ_j+h�� ＝ ｍ

ｎ ｈ＝０

称为相平均或平均值．平均值ｍ＝０的周期函数称为是标准化的．

显然， Ｆｎ－Ｓ1（Ｆｎ）：｛ｘ₀- m，ｘ₁- m，┅┅┅ ｘ_n-1 - m｝ 是

标准化的函数．由于平均值 ｍ＝Ｓ₁（Ｆｎ）不影响函数的形状和性质，我们常事先减去平均值，而只研究函数的标准化形式．

定理②：统计算子Ｓｍ具有下列性质：

⒈ Ｓｍ（ａ）＝ａ，Ｓｍ（Ｆｍ）＝Ｆｍ；

⒉ Ｓｍ是线性算子，即有：

Ｓｍ（ａＦｎ₁＋Ｆｎ₂）＝ａＳｍ（Ｆｎ₁）＋Ｓｍ（Ｆｎ₂）；

⒊ 若ｍ₁是ｍ₂的因子，则有：

Ｓｍ₁［Ｓｍ₂（Ｆｎ）］＝Ｓｍ₂［Ｓｍ₁（Ｆｎ）］

＝Ｓｍ₁（Ｆｎ）；

⒋ 若ｍ，ｎ互质：（ｍ，ｎ）＝１，则有：

Ｓｍ（Ｆｎ）＝Ｓ₁（Ｆｎ）．

［证明］：性质 ⒈──⒊ 是明显的，今仅证明性质⒋． 由于 ｍ，ｎ 互质，按式⑶，Ｓｍ（Ｆｎ）的元素为：

１ ｎ－１

ｚ_k = ── Σ ｘ_k+hm

ｎ ｈ＝０

当ｈ历遍０到ｎ－１时，ｈｍ刚好历遍ｎ的所有同余类．否则，至少对于某两个ｈ，ｈ’＜ｎ 有 ｈ·ｍ＝ｈ＇·ｍ（ｍｏｄ ｎ 或（ｈ－ｈ＇）·ｍ＝０（ｍｏｄ ｎ），即ｎ整除（ｈ－ｈ＇）·ｍ．但这是不可能的，因为ｎ与ｍ互质，而┃ｈ－ｈ＇┃＜ｎ． 这就是说，上式加和号下的Ｆｎ的元素Ｘ_k+hm刚好历遍它的所有ｎ个不同的相,所以z_k等于Ｆｎ的平均值S₁（Fｎ）． ［证毕］

显然，当Ｆｎ是 标准化函数时，若（ｍ，ｎ）＝１，就有Ｓｍ（Ｆｎ）＝０．此性质还可以推广为：

定理③：Ｓｎ［Ｓｍ（Ｆ_k）］＝Ｓ_(n,m)（Ｆ_k）

上式对任意整数ｎ，ｍ，ｋ都成立，式中（ｎ，ｍ）为ｎ，ｍ的

公约数．

［证明］： 为了实现上式左方的 分 相统计， 只要用函数 Ｆ_k 的一个长度为公倍数［ｎ，ｍ，ｋ］的子列就行了．现在把这子列元素每 （ｎ，ｍ） 个一组，划 为相继的

[n,m,k]

Ｌ ＝ ───── 个组，

(n,m)

把每一个组看作是一个（ｎ，ｍ）维向量，把整个子列看作是周期为Ｌ的（ｎ，ｍ）维函数Ｆ_L，对Ｆ_k的分相统计Ｓｍ，可看作是对Ｆ_L的按周期

m

ｍ＇＝ ────

(n,m)

的分相统计Ｓｍ＇，同样，对Ｆ_k的Ｓｎ，可以看作是对 Ｆ_L 的Ｓｎ＇，这里

n

ｎ＇＝ ───── ．

(n,m)

由于Ｓｍ＇（Ｆ_L）是周期为ｍ＇的函数，而 ｎ＇、ｍ＇ 互质 ， 应用 定理② 的性质 ⒋ ， 可知 Ｓｎ＇［Ｓｍ＇（ｆ_L）］＝Ｓ₁（Ｆ_L）．所得结果是（ｎ，ｍ）维函数Ｆ_L的平均值，其元素是一个（ｎ，ｍ）维向量，它正是对Ｆ_k按周期（ｎ，ｍ）作的分相统计结果，即：

Ｓ₁（Ｆ_L）＝Ｓ_(n,m)（Ｆ_k）． ［证毕］

由定理③，我们看到，施于同一函数（或序列）的两次分相统计运算，前后次序是可以交换的． 如果借用符号 Π ， 把连续进行多次的分相统计Ｓｎ₁,Sｎ₂，┅┅ Ｓｎ_i,表为（ Π Ｓｎ_i），用归纳法不难推得：

i

（ Π Ｓｎ_i）（Ｆｍ）＝Ｓｎ（Ｆｍ）

i

其中ｎ＝（ｎ₁，ｎ₂，┅┅ｎ_i）为公约数

现在，定理②中的性质⒈，⒊，⒋都是定理③的特例，这对于性质⒊是显然的，对于性质⒈，只要把常数ａ及函数Ｆｍ分别看作是对函数Ｆ_k的分相统计结果Ｓ₁（Ｆ_k），Ｓｍ（Ｆ_k）（ｋ为ｍ的倍数），对于性质⒋，只要把Ｆｎ 写作Ｓｎ（Ｆｎ）＝Ｆｎ，就不难从定理③得出来．这样，算子Ｓｍ的性质可归纳为两点：

定理④

Ⅰ．Ｓｍ（ａＦｎ₁＋Ｆｎ₂）＝ａＳｍ（Ｆｎ₁）＋Ｓｍ（Ｆｎ₂） ┅⑷

Ⅱ．（ Π Ｓｍ_k）（Ｆｎ）＝Ｓｍ（Ｆｎ）

ｉ

ｍ＝（ｍ₁，ｍ₂，┅┅ｍ_i，ｎ） ┅┅┅⑸

如果把这后一性质称做为＂可简约的＂，那么，我们可以说，分相统计是可交换的、可简约的线性运算，它有别于第一节所说的初等运算，或可称为高等运算，由它再派生出下节的本质化运算．

第三节 质函数

定义：一个函数Ｆｎ，除了当然因子Ｓｎ（Ｆｎ）＝Ｆｎ外，全部统计因

子 Ｓｍ（Ｆｎ）（包括相平均Ｓ₁（Ｆｎ）在内）都为０者，称为质

函数．

显然，周期Ｐ为质数的标准化函数Ｆｐ是一个质函数．

由下式定义一个对函数Ｆｎ的新算子Ｓｍ^*作为辅助运算：

Ｓｍ^*（Ｆｎ）＝Ｆｎ－Ｓｍ（Ｆｎ） ┅┅┅┅┅┅┅┅ ⑹

只要简单地把对 Ｆｎ的 、ｍ₁各不相同的多次辅助运算 Ｓｍ^*，按 ⑹ 式展开，即可得Ｓｍ��的两个性质：

⒈．算子Ｓｍ^*是可交换的，即：

Ｓｍ₁^*［Ｓｍ₂^*（Ｆｎ）］＝Ｓｍ₂^*［Ｓｍ₁^*（Ｆｎ）］

＝（ Π Ｓｍ_i）（Ｆｎ）；

I=1,2

k

⒉．（ Π Ｓｍ_i^*）（Ｆｎ）＝Ｆｎ－ΣＳｍ_i（Ｆｎ）

i=1�� i

＋ Σ Ｓｍ_iＳｍ_j（Ｆｎ）－ Σ Ｓｍ_iＳｍ_jＳｍ_h（Ｆｎ）

�� i<j�� i<j<h

＋┅┅＋（－１）^k（ΠＳｍ_i）（Ｆｎ） ┅┅┅ ⑺

定义：如果⑺式中的ｍ_i是ｎ的真因子，且历遍全部真因子，包１在内，

则称为对Ｆｎ的本质化运算，运算结果用符号表示为 Ｆｎ°．应

用公式⑸ ，由⑺式可得出本质化算子（°）的定义为：

Ｆｎ°＝Ｆｎ－Σ Ｓｍ_i（Ｆｎ）＋ Σ Ｓ_(mi,mj)（Ｆｎ）

i I<j

�榄辑�

－ Σ Ｓ_(mi,mj,mh)（Ｆｎ）＋

I<j<h

┅┅＋(－１) ^k Ｓ₁（Ｆｎ） ┅┅┅┅ ⑻

其中ｋ是ｎ的全部真因子（包括１在内）的个数．

定理⑤：Ｆｎ°是周期为ｎ的质函数．

［证明］：应用定理④及公式 Ｓｍ［Ｓｍ（Ｆｎ）］＝Ｓｍ（Ｆｎ），对⑻式两方按ｎ的任意因子ｍ_k作分相统计Ｓｍ_k．这时，右方第一项成为Ｓｍ_k（Ｆｎ）；第二加和项崐成为ΣＳ_(mk,mi)（Ｆｎ），其中ｍ_i＝ｍ_k的一项与第一项对消了,

ⁱ

仅留下 ｍ₁≠ｍ_k的项，设这些项共ｐ－１个；第三加和项成为

Σ Ｓ_(mk,mi,mj)（Ｆｎ）

�榄辑� i<j

，其中ｍ_i或ｍ_j＝ｍ_k的所有项（显然共ｐ－１项），与第二加和项中尚未对消的所有项对消了．┅┅┅┅如此下去，直到末项，全部都被对消了，而成为０．这就是说，对于ｎ的任一因子（包括１在内）ｍ_k，恒有Ｓｍ_k（Ｆｎ°）＝０，按定义，Ｆｎ°是质函数．

现在我们列出本质化运算的性质：

定理⑥：

Ⅰ．本质化运算仅对周期巳确定的函数有定义，且（Ｆｎ°）°＝Ｆｎ°

Ⅱ．仅对周期相等的两函数Ｆｎ、Ｇｎ，有：

（ａＦｎ＋Ｇｎ）°＝ａＦｎ°＋Ｇｎ°．

［证明］：由定理⑤，知Ｆｎ°为质函数，它的全部统计因子（当然因子除外）为０，所以，无论进行运算Ｓｍ^*（ｍ≠ｎ）或本质化运算（°），都不会改变它，性质Ⅰ是显然的．再论证Ⅱ．由于Ｆｎ、Ｇｎ的周期相同，故Ｆｎ°和Ｇｎ°的表达式⑻亦一样，由相同的一些项组成．应用定理④中的公式⑷，把ａＦｎ°＋Ｇｎ°中的相同的统计项合并，就成为一个周期为 ｎ 的函数 ａＦｎ＋Ｇｎ 的本质化表达式． 另一方面， 由于 函 数ａＦｎ＋Ｇｎ的周期显然为ｎ，周期确定，即能按⑻式进行本质化运算（ａＦｎ＋Ｇｎ）°，把运算分解为分相统计后，即可应用⑷式分解为分别属于ａＦｎ°和Ｇｎ°的一些项．

［证毕］

对于ｎ₁≠ｎ₂，Ｆｎ₁°和Ｆｎ₂°的表达式就不一样，没有上述 性质， 我们也

不对 （Ｆｎ₁＋Ｆｎ₁）° 作定义． （ 如 果 把（Ｆｎ₁＋Ｆｎ₂）° 看作是有意义的， 例如把它定义为，是周期为ｎ＝［ｎ₁，ｎ₂］的函数Ｆｎ₁＋Ｆｎ₁之本质化，那么，仅当其中一个ｎ₁是另一个ｎ₂的倍数时，它等于Ｆｎ₁°，否则总等于０．）

定义：统计因子Ｓｍ（Ｆｎ）按周期ｍ进行本质化后，称为质因子，记作

Ｓｍ°（Ｆｎ）．Ｓｎ°（Ｆｎ）＝Ｆｎ°称为当然质因子．

以下，我们总是把Ｓｍ°看作是一个运算子，它具有性质：

定理⑦： Ⅰ．若（ｍ，ｎ）＜ｍ，Ｓｍ°（Ｆｎ）＝０；

Ⅱ．Ｓｍ°也是线性算子：

Ｓｍ°（ａＦｎ₁＋Ｆｎ₂）

＝ａＳｍ°（Ｆｎ�保�＋Ｓｍ°（Ｆｎ�玻� ┅┅┅ ⑼

Ⅲ．Ｓｍ₁［Ｓｍ₂°（Ｆｎ）］＝

＝Ｓ_(m1,m2)［Ｓｍ₂°（Ｆｎ）］

┎Ｓｍ₂°（Ｆｎ） 当ｍ₁是ｍ₂的倍数

＝┨

┖０ 当ｍ₁不是ｍ₂的倍数 ┅ ⑽

［证明］：Ⅰ．因为Ｓｍ（Ｆｎ）的实际周期（ｍ，ｎ）＜ｍ，对它按周期为 ｍ 的函数作本质化时，只要按ｍ的真因子（ｍ，ｎ）作一次运算Ｓ_(m,n)^*， 就成为０了．

Ⅱ．由定理④Ⅰ，Ｓｍ（ａＦｎ₁＋Ｆｎ₂）＝ａＳｍ（Ｆｎ₁）＋Ｓｍ（Ｆｎ₁）崐，然后对上式两边作本质化．由于右边两项的周期相等，即都为ｍ，所以可应用定理⑥Ⅱ，立即得到⑼式．

Ⅲ．由定理④， Ｓｍ 的性质Ⅱ， 我们有 Ｓｍ（Ｆｎ）＝Ｓ_(m,n)（Ｆｎ）

．现在，Ｓｍ₂°（Ｆｎ）是周期为ｍ₂的函数，可见第一个等号成立．当ｍ₁ 不是倍数时，则有 （ｍ₁，ｍ₂）＜ｍ₂，而按质函数的性质，对Ｓｍ₂°（Ｆｎ）按ｍ₂的真因子（ｍ₁，ｍ₂）的分相统计为０，仅当ｍ₁是ｍ₂的倍数，因而（ｍ₁，ｍ₁）＝ｍ₂时，才为Ｓｍ°（Ｆｎ），故第二个等号亦成立． ［证毕］

第四节 质分解定理

任何周期函数Ｆｎ，都可以表为许多周期等于ｎ及ｎ的一些因子ｎ_i（包括１）的周期函数之和：

Ｆｎ＝Ｆｎ＇＋ Σ Ｆｎ_i．

i

例如，我们可以任意取定诸Ｆｎ_i，只要最后使

Ｆｎ＇＝Ｆｎ－Σ Ｆｎ₁．

i

显然，这种分解可以有无穷种，没有什么意义．Ｆｎ能不能分解为它的统计因子 Ｓｎ_i（Ｆｎ）？ 看来是可能的． 但是， 所有统计因子之和 Σ Ｓｎ_i（Ｆｎ） 完全不等于 Ｆｎ !!! Ｆｎ 只等于所有质因子Ｓｎ_i°（Ｆｎ）之和，这里的ｎ_i必须历遍ｎ的全部因子，包括当然因子ｎ及１．由于运算Ｓｎ_i°的结果是完全确定的，所以这种分解也是唯一的．要证明这一点，尚需下面的辅助定理．

定义：非质函数若由非零质函数之和来表达，则这种表达式称为质分解．

辅助定理①：函数ｎ如果只有ｋ个不等于０的质因子Ｓｎ_i°（Ｆｎ），

且诸 ｎ_i两两互质，即对ｉ≠ｊ总有（ｎ_i，ｎ_j）＝１，则有：

Ｆｎ＝Ｓｎ₁°（Ｆｎ）＋Ｓｎ₂°（Ｆｎ）＋┅Ｓｎ_k°（Ｆｎ）

，这种分解是唯一的．

［证明］：先证等号成立．这只要证

k-1

Ｆｍ ＝ Ｆｎ－ Σ Ｓｎ_i°（Ｆｎ）

I=1

就是Ｓｎ_k°（Ｆｎ）． 对上式两边作运算Ｓｎ_k°，由定理⑦Ⅲ 可得Ｓｎ_k（Ｆｍ）＝Ｓｎ_k°（Ｆｎ）．若Ｆｍ≠Ｓｎ_k°（Ｆｎ），则Ｆｍ不是质函数，于是，必对某一ｎ_L≠ｎ_k，有Ｓｎ_L（Ｆｍ）≠０，且 Ｓｎ_L°（Ｆｍ）≠０， （ 如后者为 ０， 则必有一 ｎ_L＇，使 Ｓｎ_L’°［Ｓｎ_L’（Ｆｍ）］＝Ｓｎ_L’’（Ｆｍ）≠０，这里 ｎ_L’’＝（ｎ_L’，ｎ_L）≠ｎ_k，我们可以ｎ_1L’’代替ｎ_L）．这ｎ_L不是 ｎ_i（ｉ＝１，２，┅┅┅ｋ－１）中的一个．这样，Ｆｎ 将有第ｋ＋１个不等于０的质因子Ｓｍ_L°（Ｆｍ）＝Ｓｎ_L°（Ｆｎ），引出了矛盾．再证唯一性．设Ｆｎ另有一个不同的质分解：

h �� k

Σ Ｆｎ_i’°＝ Σ Ｓｎ_i°（Ｆｎ）．

I=1�榄江� I=1 �榄江�

对此式作运算Ｓｎ_i°，则由定理⑦ Ⅲ， 有：

h

Ｓｎ_i°（ Σ Ｆｎ_i’°）＝Ｓｎ_i°（Ｆｎ）．

I=1

因诸 Ｆｎ_i’° 都是质函数， 故有一个且只有一个 Ｆｎ_i’°＝Ｓｎ_i°（Ｆｎ）， 而 ｎ_i’＝ｎ_i． 这样刚好可以找到 ｋ 个Ｆｎ_i’°（ｉ＝１，２，┅┅ ｋ）分别等于Ｓｎ_i°（Ｆｎ），此外，不可能有其它非零的质函数，因为：

�� h k �� k

Σ Ｆｎ_i’°＝ Σ Ｓｎ_i°（Ｆｎ）－ Σ Ｆｎ_i’°＝０

i=k+1�榄江氕� i=1 �榄江� i=1

［证毕］

辅助定理②：若ｎ的标准因子分解式形如 ｎ＝p^α，则函数Ｆｎ有唯一

的质分解：

Ｆｎ＝Ｓ_pα°（Ｆｎ）＋Ｓ_pα-1°（Ｆｎ）＋

┅┅┅┅┅＋Ｓ_p °（Ｆｎ）＋Ｓ₁（Ｆｎ）．

［证明］：显然，Ｆｎ－Ｓ_pα-1（Ｆｎ）＝Ｆｎ＇不是０就是质函数．由定理⑤及⑥可知： Ｓｎ°（Ｆｎ） ＝ Ｓｎ°（Ｆｎ＇） ＝ （Ｆｎ＇）° ＝ Ｆｎ＇， 于是Ｆｎ＝Ｓ_pα°（Ｆｎ）＋Ｓ_pα-1（Ｆｎ）．而Ｓ_pα-1（Ｆｎ）又可同样分解为Ｓ_pα-1°（Ｆｎ）＋Ｓ_pα-2（Ｆｎ） ┅┅ 最后，Ｓ_p（Ｆｎ）可唯一地分解为Ｓ_p°（Ｆｎ）及相平均 Ｓ₁（Ｆｎ），上述等式成立．唯一性的证法如前.

［证毕］

定理⑧（质分解定理）：任何周期函数Ｆｎ，都可分解为它的所有质因子

（包括相平均Ｓ₁（Ｆｎ）及当然质因子Ｆｎ°＝Ｓｎ°（Ｆｎ））

之和：

k+1

Ｆｎ＝ Σ Ｓｎ₁°（Ｆｎ）

i=0

k

＝ ｍ＋Ｆｎ°＋ Σ Ｓｎ_i°（Ｆｎ） ┅┅┅┅┅ ⑾

i=1

这里，ｍ＝Ｓｎ₀°（Ｆｎ）＝Ｓ₁（Ｆｎ）；

Ｆｎ°＝Ｓｎ_k+1°（Ｆｎ）＝Ｓｎ°（Ｆｎ）；

ｋ＋１为 ｎ 的全部正因子个数，

若 ｎ＝ Π ｐ_i^αi 则 ｋ＋１＝ Π （α_i＋１）

i �� i

而且这种质分解是唯一的．

［证明］：用数学归纳法。由上述辅助定理可知，当n的标准因子分解为式p₁.p₂

或ｐ_i^αi 时，定理⑧成立．设对于ｎ＝Πｐ_i^αi及其所有因子 ｎ_i，定理成立，现在证明对ｎ＇＝（Πｐ_i^αi）·ｐ_k，定理也成立；其中ｐ_k 可以等于某一ｐ_i，也可以是另一个质数．把关于周期为ｎ＇的Ｆｎ＇的本质化定义式⑻，改写作（右边除第一项外均移到另一边，再左右交换）：

Ｆｎ’＝Ｆｎ’°＋ Σ ａ_iＳｎ_i’（Ｆｎ’）．

i

这里，ａ_i是某些或正或负的整数，ｎ_i＇是ｎ＇的因子．加和号下的每一个统计因子Ｓｎ’（Ｆｎ’）都有唯一的质分解，分解为它们的、亦即Ｆｎ＇的质因子之和──这一点，当ｎ_i＇也是ｎ的因子ｎ_i时，由归纳法假设所保证，当ｎ＇是ｎ的真因子与ｐ_k的乘

积时，可由辅助定理①、②推得．于是，Ｆｎ＇有质分解：

Ｆｎ’＝Ｆｎ’°＋ Σ ａ_i＇Ｓｎ_i°（Ｆｎ）．

i

对上式两边作运算Ｓｎ_i°， 则由质函数定义及定理 ⑤、⑦，可得到所有的ａ_i＇＝１，故分解是的唯一的．

［证毕］

第五节 本质化的实现

无论定义式⑻，或按等价的⑾式：

k

Ｆｎ°＝Ｆｎ－ Σ Ｓｎ�椤悖ǎ疲睿� ┅┅┅┅┅ ⑾＇

i=1

当ｎ的因子数目很大时，要实现本质化运算是很麻烦的．但是上式加和号下的质因子，有许多又是Ｆｎ的统计因子Ｓｎ_k（Ｆｎ）（ｎ_k为ｎ的所有因子中的最大者）的质因子，故可先合并成为Ｓｎ_k（Ｆｎ）．这就使表达式及计算简单化了．例如， ｎ ＝ １６８＝ ２³·３·７， 它就有 １４ 个真因子： ２， ４， ８， ３， ６，１２，２４，７，１４，２９，５６，２１，４２，８４， 另外再加当然因子 １６８ 及 １ ， 共（３＋１）（１＋１）（１＋１）＝１６个，很繁．但是除了当然因子外的１４个因子中，只有８，２４，５６三个不是８４的因子．把其中属于Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）的质因子的所有１２个质因子合并为一个Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）式⑾＇就可简化为：

Ｆ₁₆₈°＝Ｆ₁₆₈－Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）－Ｓ₈°（Ｆ₁₆₈）

－Ｓ₂₄°（Ｆ₁₆₈）－Ｓ₅₆°（Ｆ₁₆₈）

这是一种可行的本质化方案．由于质因子的计算比普通统计因子的计算要麻烦点，我们可以把上式的所有质因子改为普通因子，成为第二种方案：

Ｆ₁₆₈°＝Ｆ₁₆₈－Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）－Ｓ₅₆（Ｆ₁₆₈）－Ｓ₂₄（Ｆ₁₆₈）

＋Ｓ₂₈（Ｆ₁₆₈）＋Ｓ₁₂（Ｆ₁₆₈）＋Ｓ₈（Ｆ₁₆₈）．

实际应用时，最方便的还是第三柱方案．因为Ｆ₁₆₈－Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）中再也不含有周期等于 ８４ 的因子的所有统计因子了， 对它们再作分相统计 Ｓ₂₄° 时，其结果Ｓ₂₄［Ｆ₁₆₈－Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）］ 中就只含有 Ｓ₂₄°（Ｆ₁₆₈）及Ｓ₈°（Ｆ₁₆₈），而 那 些 也含于 Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈） 中的 Ｓ₂°（Ｆ₁₆₈）、 Ｓ₄°（Ｆ₁₆₈）、Ｓ₃°（Ｆ₁₆₈）、 Ｓ₁₂°（Ｆ₁₆₈）、 Ｓ₆°（Ｆ₁₆₈） 巳 不 复 存 在 于Ｓ₂₄［Ｆ₁₆₈－Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）］ 中．现在再减去这个统计因子，原函数就变成只含有Ｆ₁₆₈°及 Ｓ₅₆°（Ｆ₁₆₈），最后只要减去它的周期为５６的统计因子 （实际上就是质因子）就可以了．其计算过程可表为：

Ｆ₁₆₈°＝Ｆ₁₆₈－Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）－Ｓ₂₄［Ｆ₁₆₈－Ｓ₂₄（Ｆ₁₆₈）］

－Ｓ₅₆｛Ｆ₁₆₈－Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）－Ｓ₂₄［Ｆ₁₆₈－Ｓ₈₄（Ｆ₁₆₈）］｝

如用第三节中的辅助算子Ｓｍ��的记号，更可简洁地写作：

Ｆ₁₆₈＝Ｓ₅₆^*·Ｓ₂₄^*·Ｓ₈₄^*（Ｆ₁₆₈）．

这就是说，不需要像定义中所规定的，Ｓｍ^*运算一定要历遍ｎ的全部真因子（包括１）．我们把对 Ｆ₁₆₈的这种本质化方案简记作（由于Ｓｍ^*的可交换性，以下三数的次序是可随意的）：

８４，５６，２４．

事先对经常碰到的所有周期，例如从２开始到某一界限的所有整数，编好上述本质化方案的专用表，是可提供方便的好办法．编表时可应用以下的公式．例如把最后一行中的 α、β、γ 分别代以 ２、３、７， ｉ、ｊ、ｋ 分别代以３、１、１，就得到对周期 ｎ＝２³·３·７＝１６８的本质化方案中的三个数：８４、５６、２４．

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周期的标准分解式│真 因 子 数 目│ 本 质 化 方 案

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αⁱ │ ｉ－１ │ α^i-1

────────┼─────────┼───────────────

αⁱβ^j │ｉｊ＋ｉ＋ｊ－１ │ α^i-1β^j，αⁱβ^j-1

────────┼─────────┼───────────────

│ │ α^i-1β^jγ^k

αⁱβ^jγ^k │(i+1)(j+1)(k+1)-2 │ αⁱβ^j-1γ^k

│ │ αⁱβ^jγ^k-1

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对周期为偶数的 ｎ ＝ ２ｍ ＝ ２ⁱβ^jγ^k 的函数 Ｆ_2m ， 不 难 验 证

Ｓｍ^*（Ｆ）＝Ｆ_2m－Ｓｍ（Ｆ_2m） 的前ｍ个元素ｘ_j和后ｍ个元素ｘ_j+m

，绝对值相等而符号相反：ｘ_j＝－ｘ_j+m ，我们称之为奇对称性．利用此特性，更可使本质化的运算量减少一半，计算Ｓｍ^*（Ｆ_2m），甚至不需统计Ｓｍ（Ｆ_2m�恚�．原来Ｓｍ^*（Ｆ_2m）的前 ｍ 个元素 ｘ_i，等于Ｆ_2m的前ｍ个元素ｘ_j＇减去后ｍ个元素ｘ_j＇除以２，因为：

１ １

ｘ_j＝ｘ_j＇－ ─（ｘ_j＇＋ｘ_j+m＇）＝ ─（ｘ_j＇－ｘ_j+m＇）．

２ ２

这样我们就得到了 Ｓｍ^*（Ｆ_2m） 的前 ｍ 个元素 ｘ_j ． 作 下 一 步 运 算

Ｓ₂i_βj-1_γk^*时， 只要把这 ｍ 个元素顺次排列如第二节中的方阵， 来统计

Ｓ₂i_βj-1_γk ［Ｓｍ^*（Ｆ�伯恚�］ ， 这时最后一行只有半行元素 ． 我们先

逐列求得它们的累计数，但这只是前ｍ个元素的分相累计的结果．由于后ｍ个元素值相同仅符号相反，故它们的分相累计数也必与已求得的数值相同 ，仅符号相反 ，另外 ， 位相要错开周期 Ｔ�椋� ２^i-1β^j-1γ^k 的一半． 所以， 只 要 将 已 求 得的前 ２^i-1β^j-1γ^k 个累计数减去后２^i-1β^j-1γ^k 已求得的累计数，就 得 到 前 半 周 期 的完整累计数， 再除以统计容量 Ｃ＝Ｂ， 就 是 统 计 因 子 Ｓ₂i_βj-1_γk ［Ｓｍ^*（Ｆｎ ）］ 的 前 半 周 期 的 元 素 ， 而 后 半周 期 的 元 素 仅 仅 符 号 相 反 ， 只 要 依 次 变 号 照 抄．接下去要做的相减运算 Ｓｍ^*（Ｆ_2m）－Ｓ₂i_βj-1_γk ［Ｓｍ^*（Ｆｎ）］ ， 也 只 要 对Ｓｍ^*（Ｆ_2m） 的前 ｍ 个元素进行． 运算 Ｓ₂i_βj-1_γk^* 亦照此办理．最后得到的是 Ｆ_2m 的前ｍ个元素，由于它具有奇对称性，后 ｍ 个元素只要变号照抄前半周期的．

第六节 自相关函数

以下把形状与周期函数Ｆｎ完全相同、仅位相超前ｋ个时间单位的函数，记为：

^kＦｎ＝｛ｘ_k，ｘ_k+1，ｘ_k+2，┅┅┅ ｘ_k+n-1｝

按定理①，积函数：

Ｆｎ·^kＦｎ＝｛ｘ₀ｘ_k，ｘ₁ｘ_k+1，┅ｘ_n-1ｘ_k+n-1｝

也是周期为ｎ的函数．

定义：积函数 Ｆｎ·^kＦｎ 的相平均

1 n-1

Ｒｎ（ｋ）＝Ｓ₁（Ｆｎ·^kＦｎ）＝ ── Σ ｘ_iｘ_k+1

N i=0

是ｋ的函数，称为Ｆｎ的自相关函数．

定理⑨：Ⅰ．Ｆｎ的自相关函数是周期为ｎ的偶函数（对称），即有：

Ｒｎ（ｋ＋ｍｎ）＝Ｒｎ（ｋ）；Ｒｎ（ｋ）＝Ｒｎ（－ｋ）

Ⅱ．Ｒｎ（０）＝Ｒｎ（ｍｎ）＞Ｒｎ（ｋ） 对ｋ≠０，ｍｎ．

［证明］：Ⅰ． 不难直接验证．Ⅱ． 则由下述引理得之．

引理：若诸 ｘ_i 不完全相同，则有：

n n

Σ ｘ_i ² ＞ Σ ｘ_iｘ_j．

I=1 ��i,j=1,i≠j

（注意：不等式右边的加和项也只有 ｎ 项 ，下同）

［证明］：用数学归纳法．当ｎ＝２，且 ｘ₁≠ｘ₂ ，我们有：

（ｘ₁－ｘ₂）²＝ｘ₁²－２ｘ₁ｘ₂＋ｘ₂²

2 �� 2

＝ Σ ｘ_i² － Σ ｘ_iｘ_j＞０

i=1 i,j=1,j≠1

，引理成立． 设 ｎ＝ｋ 时引理成立， 现证明对 ｎ＝ｋ＋１也成立．这ｋ＋１个数中必有最大者，设为ｘ_k+1，且

k+1 k

Σ ｘ_iｘ_j＝ Σ ｘ_iｘ_j＋ｘ_k+1ｘ_L＋ｘ_mｘ_k+1－ｘ_mｘ_L

i,j=1 �榄� i,j=1

j≠i�� j≠i�� （ｍ，Ｌ≤ｋ）

不失一般性，这里假定等式右边的加和项中有一项是 ｘ_mｘ_L ，

因为 ｘ_k+1²＋ｘ_mｘ_L－ｘ_k+1（ｘ_m＋ｘ_L）

＝ （ｘ_k+1－ｘ_m）（ｘ_k+1－ｘ_L）≥０，

故有 ｘ_k+1²≥ｘ_k+1ｘ_L＋ｘ_mｘ_k+1－ｘ_mｘ_L．

若除了这ｘ_k+1 外的 ｋ 个 ｘ_i 并不完全相同，即满足了引理条件，归纳法假设

k k

Σ ｘ_i＞ Σ ｘ_iｘ_j

i=1�榄Л� i,j=1,j≠i

成立，则上述诸式结合，可推得引理对ｎ＝ｋ＋１也成立．如果这ｋ个ｘ_i完全相同，不满足引理条件．这时，上述两不等式中的≥可改为＞

（ 因为ｘ_k+1＞ｘ_m，ｘ_L）： ｘ_k+1²＞ｘ_k+1ｘ_L＋ｘ_mｘ_k+1－ｘ_mｘ_L．

再与

k k

Σ ｘ_i² ＝ Σ ｘ_iｘ_j

�榄江�i=1 �榄Л� i,j=1,j≠i

相结合，也可得引对ｎ＝ｋ＋１成立． [证毕]

定理⑩：周期函数 Ｆｎ 的自相关函数 Ｒｎ，等于 Ｆｎ 的所有质因子

Ｓｎ_i°（Ｆｎ） 的自相关函数 Ｒｎ_i 之和：

Ｒｎ（ｋ）＝ Σ Ｒｎ_i（ｋ）．

i

［证明］：Ｒｎ（ｋ）＝Ｓ₁（Ｆｎ·^kＦｎ）

＝Ｓ₁｛［ΣＳｎ_i°（Ｆｎ）］·［Σ^kＳｎ_i°（Ｆｎ）］｝

i �� I

＝Ｓ₁｛ Σ Ｓｎ_i°（Ｆｎ）·^kＳｎ_i°（Ｆｎ）

i

＋ Σ Ｓｎ_i°（Ｆｎ）·^kＳｎ_j°（Ｆｎ）｝

i≠j

＝ Σ Ｓ₁［Ｓｎ_i°（Ｆｎ）·^kＳｎ_j°（Ｆｎ）］＋

i

＋ Σ Ｓ₁［Ｓｎ_i°（Ｆｎ）·^kＳｎ_j°（Ｆｎ）］

i≠j

＝ Σ Ｒｎ_i（ｋ）＋Ｄ

i

现在证明 Ｄ＝ΣＳ₁［Ｓｎ_i°（Ｆｎ）·^kＳｎ_j°（Ｆｎ）］＝０．不难明了，求两周期函数乘积之相平均，可先按其中一个函数的周期，对另一个函数作分相统计得到的统计因子，再与第一个函数相乘，然后求相平均．对Ｄ 的每一项

Ｓ₁［Ｓｎ_i（Ｆｎ）°·^kＳｎ_j°（Ｆｎ）］，

可先按周期小的（如 ｎ_i）对另一个周期大的（如 ｎ_j）函数作分相统计，得到

Ｓｎ_i［^kＳｎ_j°（Ｆｎ）］ 后再乘 Ｓｎ_i°（Ｆｎ）． 但是，按定理 ⑦ Ⅲ ， 由于 ｎ_i＜ｎ_j，Ｓｎ_i［^kＳｎ_j°（Ｆｎ）］＝０，各相平均也就都等于 ０ ，所以 Ｄ＝０ ．定理得证． ［证毕］

第七节 质因子的谱

连续函数ｆ（ｔ）在离散时刻（ｔ₀，τ）＝｛┅ｔ_-2，ｔ_-1，ｔ₀，ｔ₁，ｔ₂┅┅｝ 的值组成的序列 Ｆ＝｛ｆ（ｔ_i）｝， 称为ｆ（ｔ）在（ｔ₀，τ） 上的离散表现，而 ｆ（ｔ）则称为 Ｆ 的一个连续原本．即使（ｔ₀，τ）给定，Ｆｎ的原本也不是唯一的．两个不同频率ｆ、ｆ＇的正弦波， 在一定的振幅和初位相下可以有同一 表 现，特称为同表现频率， 记为ｆ≌ｆ＇．ｆ≌ｆ＇的充要条件是

k

ｆ－ｆ＇ ＝ ── （ｋ为整数）．

�� τ

�� �� 1 1 1

由此可推得区间 ０＜ｆ＜──（或┃ｆ┃＜ ──,── 称为尼奎斯特频率＝中,

τ 2τ 2τ

各频率表现皆不相同，称为可辨频率带；而更高的频率，必与此可辨频率中的某一频率同表现．另一方面，（ｔ₀，τ）给定后，周期为Ｔ的连续函数ｆ（ｔ）的离散表现却是唯一的，它是周期ｎ满足ｎτ＝ａＴ的离散函数．一般取τ＝１，则当Ｔ为无理数时，其离散表现就不是周期函数，最多只是近于离散型周期函数而已．引进ｆ（ｔ）的傅里哀变换：

Ａ（ｋｆ）＝1/T∫₀^T ｆ（ｔ）ｅ^-2πkftiｄｔ ，

其中： ｆ＝ 1/n 为基频，ｋ＝０，±１，±２，┅┅

∞

然后将ｆ（ｔ）的傅里哀展开式ｆ（ｔ）＝ Σ Ａ（ｋｆ）ｅ^2πkfti中的各频

ｋ＝－∞

率，都用与它同表现而属于可辩频率来代替，再将这些同类项合并，就得到同类表现的较简单的函数：

n-1

ｆ₀（ｔ）＝ Σ Ａ₀（ａｆ）ｅ^2πafti

a=0

ａ＝０，１，２，┅┅ ｎ－１

ｆ₀（ｔ）的复谱 Ａ₀（ａｆ） 与 ｆ（ｔ）的复谱有关系：

∞

Ａ₀（ａｆ）＝ Σ Ａ［（ｎｋ＋ａ）ｆ］

ｋ＝－∞

ａ＝０，１，２，┅┅┅ ｎ－１ ┅┅┅ ⑿

且等于同表现离散函数Ｆｎ＝｛ｘ_m｝（ｘ_m＝ｆ₀（ｔ_m）＝ｆ（ｔ_m） 的离散傅里哀变换：

1�� n-1

Ｂ（ａｆ）＝ ── Σ ｘ_mｅ^-2πafti＝Ａ�埃ǎ幔妫�

n�� m=0

ａ＝０，１，２，┅┅ ｎ－１． ┅┅┅┅ ⒀

其逆变换即 ｆ₀（ｘ），故 ｆ₀（ｘ） 特称为Ｆｎ的最简原本，或简称为Ｆｎ的原本．

若 Ｆｎ 的复谱为 Ｂ（０）、Ｂ（ｆ）、Ｂ（２ｆ） ┅┅┅ Ｂ［（ｎ－１）ｆ］，

1

其中 ｆ＝── ， 则可证明：

n

㈠．统计因子Ｓｍ（Ｆｎ）的复谱为：

｛Ｂ（０），Ｂ（ｂｆ），Ｂ（２ｂｆ）┅┅┅Ｂ［（ｍ－１）ｂｆ］｝

�� n

其中 ｂ＝ ── ；

�� m

㈡．质因子 Ｓｍ°（Ｆｎ） 的复谱为：

｛Ｂ（ｋｂｆ）｝ ｋ为一切 ＜ｍ，（ｋ，ｍ）＝１（互质）的整数．

这两点和⑿、⒀两式，将实际原本 ｆ（ｘ），最简原本ｆ₀（ｔ），离散时间函数Ｆｎ及其统计因子Ｓｍ（Ｆｎ），质因子Ｓｍ°（Ｆｎ）联系起来了．

第八节 分相统计的滤波作用

以 Ｈｍ ＝ ｛ｈ₀，ｈ₁，ｈ₂┅┅┅ｈ_m-1，０，０，０，┅┅┅｝ 为权，

对Ｆｎ＝｛ｘ₀，ｘ₁，┅┅ ｘ_n-1｝ 作 ｍ 阶的平滑化运算：

＿ ∞

ｘ�椋� Σ ｘ_i-k·ｈ_k ，

k=0

＿ ＿ ＿ ＿

运算的结果 Ｆｎ＝｛ｘ₀，ｘ₁，┅┅ ｘ_n-1｝ 仍是周期为 ｎ 的离散函数，其频率成份与 Ｆｎ 全同，位相也不变，仅振幅改变了：频率为 ｆ 的振幅乘了一个因子：

∞

Ｃ（ｆ）＝ Σ ｈ_kｅ^-2πfki

k=0

其绝对值 ┃Ｃ（ｆ）┃ 称为平滑化算子的频率响应．

若待分析时间序列Ｆ＝｛ｘ_-L+1，ｘ_-L+2，┅ ｘ_-1，ｘ₀｝的长度 Ｌ 足

L

够大，Ｃ 为小于 ── 的最大整数，则对此序列作分相统计Ｓｍ（ｆ）的运算

m

可表为：

1 ��c-1

ｚ_-k＝ ── Σ ｘ_-k-jm

C�� j=0

ｋ＝－ｍ＋１，－ｍ＋２，┅┅－１，０

它等于以 ��

┌ ── 当ｋ＝ｊｍ，ｊ＝０，１，２，┅ｃ－１

Ｈ：ｈ_k＝ ┤ ��

└ ０ 当ｋ为其它整数

为权函数的平滑化算子，其频率响应为：

┃ Ｓｉｎ（π·ｆ·ｍ·ｃ） ┃

┃Ｃ（ｆ）┃＝┃ ───────────── ┃

┃ Ｃ·Ｓｉｎ（π·ｆ·ｍ ） ┃ ．

k k+1

在 ｆ 的任一区间 ［──，───］（ｋ 为任意整数）中，┃Ｃ（ｆ）┃的曲线

m m

形状是一样的，我们可只研究区间

1 1

［０，──］．在此区间中，曲线对称于中点 ── ；

m 2m

k

有Ｃ－１ 个零值，处于 ｆ＝──，ｋ＝１，２，┅ ｃ－１；

cm

有ｃ个极值，其中两端点（主瓣）最大，等于１，其余 ｃ－２ 个（边瓣）约处于

2k-1

ｆ＝────（ｋ＝１，２，┅ ｃ－１）

2cm

附近，频率响应都很小，且离端点愈远愈小．当统计容量 Ｃ 充份大时，有：

┃ ｎ ┃ ┃ Ｓｉｎ（πη） ┃

┃Ｃ（ ── ）┃ ─→ ┃────────┃

┃ ｃｍ ┃ ┃ πη ┃

这时靠近主瓣的第一边瓣（ 约当 η＝１．４--１．５ 处 ） 的值为 ０．２２，第二个边瓣（η≈２．５）为 ０．１３，其它更微不足道了． 实际上，当 Ｃ＝４ 时，第一边瓣已降为 ０．２７ 左右，Ｃ＝１０ 时已降至 ０．２２．另外，随着统计容量 Ｃ的增加，较大的第一边瓣亦愈靠近主瓣，所以分相统计实在是很好的滤波器．

经过这滤波作用得到的统计因子 Ｓｍ（Ｆｎ），其频率成份远非单一，

k

因为它包含着所有倍频 ──（ｋ为任意整数）．

m

但是，前面的论证表明，它却可以严密地分解为它的各个质因子．

１９７７年１０月 初稿于 浙江富阳县胥口公社高山大队

１９８０年８月，１９８２年３月 修改于陕西彬县气象站

１９９０年５月 于 陕西省气象局 输入计算机